سعر التفاح يتناسب مع الكتلة:
• 2 كغ ← 8 دينار
• 5 كغ ← 20 دينار
• 10 كغ ← 40 دينار

عامل التناسب: \( k = \frac{8}{2} = \frac{20}{5} = \frac{40}{10} = 4 \) دينار/كغ

المسافة (كم)	3	6	9
الزمن (دقيقة)	15	30	45

الحل:
عامل التناسب: \( k = \frac{15}{3} = \frac{30}{6} = \frac{45}{9} = 5 \) دقيقة/كم
المعنى: كل كيلومتر يحتاج 5 دقائق

المسألة: إذا كان 4 أقلام تكلف 20 دينار، فكم تكلف 7 أقلام؟

عدد الأقلام	4	7
السعر (دينار)	20	؟

الحل:
1️⃣ سعر القلم الواحد: \( 20 \div 4 = 5 \) دينار
2️⃣ سعر 7 أقلام: \( 5 \times 7 = 35 \) دينار

المسألة: \( \frac{3}{12} = \frac{5}{x} \)

الحل:
1️⃣ نطبق الضرب التبادلي: \( 3 \times x = 12 \times 5 \)
2️⃣ نبسط: \( 3x = 60 \)
3️⃣ نقسم على 3: \( x = \frac{60}{3} = 20 \)

التحقق: \( \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \) و \( \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \) ✅

أكمل جدول التناسب:

6	18
8	؟

الحل بالطريقة 1:
عامل التناسب: \( k = \frac{18}{6} = 3 \)
العدد المفقود: \( 8 \times 3 = 24 \)

الحل بالطريقة 2:
\( \frac{6}{18} = \frac{8}{x} \)
\( 6 \times x = 18 \times 8 = 144 \)
\( x = 144 \div 6 = 24 \)

الحل بالطريقة 3:
من 6 إلى 18: نضرب في 3
من 8 إلى ؟: نضرب في 3 ← \( 8 \times 3 = 24 \)

هل الأعداد 4، 12، 5، 15 متناسبة؟

الحل بالطريقة 1:
\( \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) و \( \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \)
النسبتان متساويتان ✅

الحل بالطريقة 2:
\( 4 \times 15 = 60 \)
\( 12 \times 5 = 60 \)
حاصلا الضرب متساويان ✅

النتيجة: الأعداد متناسبة

هل الأعداد 3، 8، 6، 15 متناسبة؟

الحل:
\( 3 \times 15 = 45 \)
\( 8 \times 6 = 48 \)
\( 45 \neq 48 \) ❌

النتيجة: الأعداد غير متناسبة

خط يمر بنقطة الأصل والنقطة (4, 12)

الحل:
عامل التناسب: \( k = \frac{12}{4} = 3 \)
معادلة الخط: \( y = 3x \)

التفسير: لكل وحدة في x، نحصل على 3 وحدات في y

المسألة: سيارة تقطع 180 كم في 3 ساعات بسرعة ثابتة. كم كيلومتر تقطع في 7 ساعات؟

الحل:

1️⃣ المعطيات:
• 3 ساعات ← 180 كم
• 7 ساعات ← ؟ كم

2️⃣ الجدول:

الزمن (ساعة)	3	7
المسافة (كم)	180	؟

3️⃣ الحل:
السرعة (عامل التناسب): \( k = \frac{180}{3} = 60 \) كم/ساعة
المسافة في 7 ساعات: \( 60 \times 7 = 420 \) كم

4️⃣ التحقق: 420 أكبر من 180 لأن 7 أكبر من 3 ✅

حل المعادلة: \( 2x + 5 = 3x - 2 \)

الحل خطوة بخطوة:

1️⃣ تبسيط: المعادلة مبسطة بالفعل

2️⃣ جمع حدود x:
ننقل 3x إلى اليسار: \( 2x - 3x + 5 = -2 \)
نبسط: \( -x + 5 = -2 \)

3️⃣ جمع الأعداد:
ننقل 5: \( -x = -2 - 5 \)
نبسط: \( -x = -7 \)

4️⃣ عزل x:
نضرب في -1: \( x = 7 \)

5️⃣ التحقق:
الطرف الأيسر: \( 2(7) + 5 = 14 + 5 = 19 \)
الطرف الأيمن: \( 3(7) - 2 = 21 - 2 = 19 \)
19 = 19 ✅

حل المعادلة: \( 3x + 7 = 22 \)

الحل:
1️⃣ ننقل 7 إلى الطرف الثاني: \( 3x = 22 - 7 \)
2️⃣ نبسط: \( 3x = 15 \)
3️⃣ نقسم على 3: \( x = \frac{15}{3} = 5 \)

التحقق: \( 3(5) + 7 = 15 + 7 = 22 \) ✅

حل المعادلة: \( 5x - 8 = 17 \)

الحل:
1️⃣ ننقل -8: \( 5x = 17 + 8 \)
2️⃣ نبسط: \( 5x = 25 \)
3️⃣ نقسم على 5: \( x = 5 \)

التحقق: \( 5(5) - 8 = 25 - 8 = 17 \) ✅

حل المعادلة: \( -2x + 10 = 4 \)

الحل:
1️⃣ ننقل 10: \( -2x = 4 - 10 \)
2️⃣ نبسط: \( -2x = -6 \)
3️⃣ نقسم على -2: \( x = \frac{-6}{-2} = 3 \)

التحقق: \( -2(3) + 10 = -6 + 10 = 4 \) ✅

حل المعادلة: \( \frac{x}{4} + 3 = 8 \)

الحل:
1️⃣ ننقل 3: \( \frac{x}{4} = 8 - 3 \)
2️⃣ نبسط: \( \frac{x}{4} = 5 \)
3️⃣ نضرب في 4: \( x = 5 \times 4 = 20 \)

التحقق: \( \frac{20}{4} + 3 = 5 + 3 = 8 \) ✅

حل المعادلة: \( \frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 10 \)

الحل:
1️⃣ المضاعف المشترك: 6
2️⃣ نضرب الطرفين في 6:
\( 6 \times \frac{x}{3} + 6 \times \frac{x}{2} = 6 \times 10 \)
3️⃣ نبسط: \( 2x + 3x = 60 \)
4️⃣ نجمع: \( 5x = 60 \)
5️⃣ نقسم: \( x = 12 \)

التحقق: \( \frac{12}{3} + \frac{12}{2} = 4 + 6 = 10 \) ✅

حل المعادلة: \( 2(x - 3) = 14 \)

الحل:
1️⃣ نحذف القوس (نوزع): \( 2x - 6 = 14 \)
2️⃣ ننقل -6: \( 2x = 14 + 6 \)
3️⃣ نبسط: \( 2x = 20 \)
4️⃣ نقسم: \( x = 10 \)

التحقق: \( 2(10 - 3) = 2(7) = 14 \) ✅

حل المعادلة: \( 5 - (2x + 3) = 8 \)

الحل:
1️⃣ نوزع السالب: \( 5 - 2x - 3 = 8 \)
2️⃣ نجمع الأعداد: \( 2 - 2x = 8 \)
3️⃣ ننقل 2: \( -2x = 8 - 2 \)
4️⃣ نبسط: \( -2x = 6 \)
5️⃣ نقسم: \( x = -3 \)

التحقق: \( 5 - (2(-3) + 3) = 5 - (-6 + 3) = 5 - (-3) = 8 \) ✅

حل المعادلة: \( 3(x + 2) = 2(x + 5) \)

الحل:
1️⃣ نحذف الأقواس: \( 3x + 6 = 2x + 10 \)
2️⃣ ننقل 2x: \( 3x - 2x = 10 - 6 \)
3️⃣ نبسط: \( x = 4 \)

التحقق:
الطرف الأيسر: \( 3(4 + 2) = 3(6) = 18 \)
الطرف الأيمن: \( 2(4 + 5) = 2(9) = 18 \) ✅

حل المعادلة: \( 5x + 3 = 2x + 18 \)

الحل:
1️⃣ ننقل 2x إلى اليسار: \( 5x - 2x + 3 = 18 \)
2️⃣ ننقل 3 إلى اليمين: \( 5x - 2x = 18 - 3 \)
3️⃣ نبسط: \( 3x = 15 \)
4️⃣ نقسم: \( x = 5 \)

التحقق:
الطرف الأيسر: \( 5(5) + 3 = 28 \)
الطرف الأيمن: \( 2(5) + 18 = 28 \) ✅

حل المعادلة: \( 7x - 4 = 3x + 12 \)

الحل:
1️⃣ نجمع حدود x: \( 7x - 3x = 12 + 4 \)
2️⃣ نبسط: \( 4x = 16 \)
3️⃣ نقسم: \( x = 4 \)

التحقق:
الطرف الأيسر: \( 7(4) - 4 = 24 \)
الطرف الأيمن: \( 3(4) + 12 = 24 \) ✅

حل المعادلة: \( 2(3x - 1) = 4x + 10 \)

الحل:
1️⃣ نحذف القوس: \( 6x - 2 = 4x + 10 \)
2️⃣ نجمع حدود x: \( 6x - 4x = 10 + 2 \)
3️⃣ نبسط: \( 2x = 12 \)
4️⃣ نقسم: \( x = 6 \)

التحقق:
الطرف الأيسر: \( 2(3(6) - 1) = 2(17) = 34 \)
الطرف الأيمن: \( 4(6) + 10 = 34 \) ✅

تحقق من أن \( x = 5 \) حل للمعادلة: \( 3x - 2 = 13 \)

التحقق:
1️⃣ نعوض x بـ 5 في الطرف الأيسر:
\( 3(5) - 2 = 15 - 2 = 13 \)

2️⃣ الطرف الأيمن = 13

3️⃣ الطرف الأيسر = الطرف الأيمن (13 = 13) ✅

النتيجة: الحل صحيح!

حل المعادلة: \( 2x + 4 = 2(x + 2) \)

الحل:
1️⃣ نحذف القوس: \( 2x + 4 = 2x + 4 \)
2️⃣ ننقل 2x: \( 2x - 2x = 4 - 4 \)
3️⃣ نبسط: \( 0 = 0 \) ✅ (صحيح دائماً!)

النتيجة: عدد لا نهائي من الحلول (∞)
أي قيمة لـ x تحقق المعادلة!

حل المعادلة: \( 3x + 5 = 3x + 8 \)

الحل:
1️⃣ ننقل 3x: \( 3x - 3x = 8 - 5 \)
2️⃣ نبسط: \( 0 = 3 \) ❌ (خاطئ!)

النتيجة: لا يوجد حل (∅)
المجموعة الفارغة